تغییرهای درصدی پشت سر هم: چرا ۱۰٪ بالا و ۱۰٪ پایین به صفر نمی‌رسد
یاد بگیرید چند تغییر درصدی پی‌درپی را با ضرب ضریب‌ها حساب کنید، تغییر کل را درست به دست آورید و بفهمید چرا جمع ساده‌ی درصدها و میانگین ساده‌ی آن‌ها نتیجه‌ی غلط می‌دهد.
قیمت‌ها یک بار تغییر نمی‌کنند و تمام؛ هر روز، هر ساعت و هر دقیقه تغییر می‌کنند. وقتی چند تغییر درصدی پشت سر هم می‌آیند، وسوسه می‌شویم آن‌ها را با هم جمع کنیم. این کار تقریباً همیشه غلط است. در این درس روش درست را یاد می‌گیریم و می‌بینیم چرا نوسان، حتی بدون جهت مشخص، اثر دارد.
یادآوری: ضریب تغییر
در درس درصد تغییر دیدیم که هر تغییر درصدی را می‌توان به یک ضریب تبدیل کرد:
- ۱۰٪ افزایش → ضرب در ۱٫۱
- ۱۰٪ کاهش → ضرب در ۰٫۹
- ۲۵٪ افزایش → ضرب در ۱٫۲۵
- ۴۰٪ کاهش → ضرب در ۰٫۶
کلید این درس یک جمله است: تغییرهای پشت سر هم ضرب می‌شوند، نه جمع. دلیلش این است که هر تغییر روی عدد جدید اثر می‌کند، نه روی عدد اول.
مثال کلاسیک: بالا و پایین برابر
فرض کنید قیمتی ۱۰۰ دلار است. یک روز ۱۰٪ بالا می‌رود و روز بعد ۱۰٪ پایین می‌آید.
- بعد از روز اول: ۱۰۰ × ۱٫۱ = ۱۱۰ دلار
- بعد از روز دوم: ۱۱۰ × ۰٫۹ = ۹۹ دلار
نتیجه ۱٪ کاهش است، نه صفر. چرا؟ چون ۱۰٪ کاهش روز دوم از ۱۱۰ حساب شد، یعنی ۱۱ دلار، در حالی که افزایش روز اول ۱۰ دلار بود.
با ضریب‌ها مستقیم: ۱٫۱ × ۰٫۹ = ۰٫۹۹، یعنی ۹۹٪ مقدار اول، یعنی ۱٪ کاهش.
جالب است که ترتیب مهم نیست. اگر اول ۱۰٪ پایین و بعد ۱۰٪ بالا برود: ۱۰۰ × ۰٫۹ = ۹۰ و ۹۰ × ۱٫۱ = ۹۹. همان نتیجه، چون در ضرب جای عددها نتیجه را عوض نمی‌کند.
روش کلی برای چند تغییر
برای هر تعداد تغییر پشت سر هم:
- هر تغییر را به ضریب تبدیل کنید.
- همه‌ی ضریب‌ها را در هم ضرب کنید.
- از نتیجه ۱ را کم کنید و در ۱۰۰ ضرب کنید تا درصد تغییر کل به دست آید.
فرض کنید قیمتی در سه هفته این تغییرها را داشته: ۲۰٪ افزایش، ۱۰٪ کاهش و ۵٪ افزایش.
- ضریب‌ها: ۱٫۲، ۰٫۹ و ۱٫۰۵
- ضرب: ۱٫۲ × ۰٫۹ = ۱٫۰۸، و ۱٫۰۸ × ۱٫۰۵ = ۱٫۱۳۴
- تغییر کل: (۱٫۱۳۴ − ۱) × ۱۰۰ = ۱۳٫۴٪ افزایش
اگر ساده جمع می‌کردید (۲۰ − ۱۰ + ۵)، به ۱۵٪ می‌رسیدید. فاصله‌ی ۱٫۶ واحد درصدی در سه تغییر؛ در تغییرهای بزرگ‌تر یا بیشتر، فاصله بسیار بیشتر می‌شود.
برای چند تغییر پشت سر هم، ضریب‌ها را ضرب کنید. جمع ساده‌ی درصدها فقط برای تغییرهای خیلی کوچک تقریب قابل قبولی است.
اثر نوسان بر نتیجه
حالا دو مسیر را مقایسه کنید که هر دو از ۱۰۰ دلار شروع می‌شوند و میانگین ساده‌ی تغییرهایشان صفر است:
- مسیر آرام: ۵٪ بالا، ۵٪ پایین → ۱٫۰۵ × ۰٫۹۵ = ۰٫۹۹۷۵، یعنی حدود ۰٫۲۵٪ کاهش.
- مسیر پرنوسان: ۵۰٪ بالا، ۵۰٪ پایین → ۱٫۵ × ۰٫۵ = ۰٫۷۵، یعنی ۲۵٪ کاهش.
هر چه نوسان بزرگ‌تر باشد، این «فرسایش» هم بزرگ‌تر است. در مسیر پرنوسان، با این‌که روی کاغذ بالا و پایین برابر بود، یک چهارم پول از دست رفت. این نتیجه‌ی صرفاً ریاضی است و در هر دارایی پرنوسانی دیده می‌شود.
میانگین واقعی هر دوره
فرض کنید چیزی در دو سال جمعاً ۲۱٪ رشد کرده است. میانگین رشد سالانه چقدر بوده؟ جواب ساده ۱۰٫۵٪ است، اما درست نیست.
سؤال واقعی این است: چه ضریب ثابتی، اگر دو بار تکرار شود، ۱٫۲۱ می‌دهد؟ جواب ۱٫۱ است، چون ۱٫۱ × ۱٫۱ = ۱٫۲۱. پس میانگین واقعی ۱۰٪ در هر سال است.
به این نوع میانگین میانگین هندسی (Geometric mean) می‌گویند. حساب دقیق آن برای دوره‌های بیشتر به ریشه گرفتن نیاز دارد و ماشین‌حساب کار را آسان می‌کند. نکته‌ی مهم برای شما این است: میانگین ساده‌ی درصدهای پشت سر هم، معمولاً عدد واقعی را بزرگ‌تر نشان می‌دهد. رشد پیوسته‌ی سرمایه در طول سال‌ها، یعنی بهره‌ی مرکب، در درس دیگری از همین سطح آمده است.
جمع‌بندی
- تغییرهای پی‌درپی ضرب می‌شوند: هر درصد را به ضریب تبدیل کنید و ضریب‌ها را در هم ضرب کنید.
- ۱۰٪ بالا و ۱۰٪ پایین، با هر ترتیبی، ۱٪ کاهش می‌دهد.
- نوسان بزرگ‌تر، حتی بدون جهت، نتیجه را بیشتر پایین می‌کشد.
- میانگین واقعی تغییر در هر دوره از میانگین ساده‌ی درصدها کمتر است.
در درس بعد این فکر را به مهم‌ترین نتیجه‌اش می‌رسانیم: چرا جبران یک ضرر بزرگ به سودی بسیار بزرگ‌تر نیاز دارد.
این مقاله فقط برای آموزش است و توصیه‌ی سرمایه‌گذاری یا سیگنال معامله نیست. معامله، به‌ویژه با اهرم، می‌تواند به از دست رفتن کل سرمایه منجر شود.