میانگین، میانه و دامنه: خلاصه کردن یک دسته عدد بدون فریب خوردن

معامله‌گر همیشه با دسته‌ای از عددها سروکار دارد: قیمت‌های پایانی چند روز، نتیجه‌ی ده معامله‌ی اخیر، حجم معامله در یک هفته. برای این‌که از دل این عددها چیزی بفهمیم، باید بتوانیم آن‌ها را در یک یا دو عدد خلاصه کنیم. سه ابزار ساده برای این کار داریم: میانگین، میانه و دامنه.

میانگین ساده

میانگین (Mean / Average) یعنی جمع همه‌ی عددها تقسیم بر تعدادشان.

فرض کنید قیمت پایانی یک دارایی در پنج روز این‌ها بوده: ۱۰، ۱۲، ۱۱، ۱۳ و ۱۴ دلار.

1. جمع: ۱۰ + ۱۲ + ۱۱ + ۱۳ + ۱۴ = ۶۰
2. تعداد: ۵
3. میانگین: ۶۰ ÷ ۵ = ۱۲ دلار

میانگین به ما می‌گوید قیمت در این پنج روز «به طور معمول» حدود ۱۲ دلار بوده است. یکی از پرکاربردترین ابزارهای تحلیل نمودار، یعنی میانگین متحرک (Moving average)، بر همین ایده ساخته شده است: میانگین چند قیمت آخر که با آمدن هر قیمت تازه به‌روز می‌شود. جزئیات آن در سطح تحلیل تکنیکال می‌آید.

میانه

میانه (Median) عددی است که دقیقاً وسط قرار می‌گیرد، وقتی عددها را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم.

برای همان پنج قیمت: اول مرتب می‌کنیم: ۱۰، ۱۱، ۱۲، ۱۳، ۱۴. عدد وسط ۱۲ است. این بار میانه و میانگین یکی شدند، چون عددها متعادل پخش شده بودند.

اگر تعداد عددها زوج باشد، دو عدد وسط داریم و میانه میانگین همان دو عدد است. مثلاً برای ۴، ۶، ۸ و ۱۰، دو عدد وسط ۶ و ۸ هستند و میانه (۶ + ۸) ÷ ۲ = ۷ است.

وقتی میانگین گمراه می‌کند

فرض کنید نتیجه‌ی پنج معامله‌ی یک نفر به دلار این بوده: +۲۰، +۱۵، +۱۰، −۵ و +۳۰۰.

• جمع: ۲۰ + ۱۵ + ۱۰ − ۵ + ۳۰۰ = ۳۴۰
• میانگین: ۳۴۰ ÷ ۵ = ۶۸ دلار
• میانه: مرتب‌شده می‌شود −۵، ۱۰، ۱۵، ۲۰، ۳۰۰؛ عدد وسط ۱۵ دلار است.

میانگین می‌گوید «هر معامله به طور متوسط ۶۸ دلار سود داده»، اما در واقع چهار معامله از پنج تا زیر ۲۱ دلار بوده‌اند. یک معامله‌ی استثنایی ۳۰۰ دلاری کل تصویر را تغییر داده است. به چنین عدد دورافتاده‌ای داده‌ی پرت (Outlier) می‌گویند.

میانه در برابر داده‌ی پرت مقاوم است. اگر آن ۳۰۰ دلار ۳۰۰۰ دلار هم بود، میانه همچنان ۱۵ می‌ماند، ولی میانگین خیلی بالاتر می‌رفت.

وقتی کسی «میانگین سود» خود را نشان می‌دهد، بپرسید میانه چقدر است. اگر این دو خیلی با هم فرق دارند، احتمالاً چند نتیجه‌ی استثنایی تصویر را بزرگ‌تر نشان داده‌اند.

این نکته در ارزیابی ادعاهای تبلیغاتی هم به کار می‌آید؛ یک یا دو نتیجه‌ی خیلی خوب می‌تواند میانگین یک کارنامه را زیبا کند، در حالی که بیشتر نتیجه‌ها معمولی یا بد بوده‌اند.

دامنه: عددها چقدر پخش‌اند؟

میانگین و میانه «مرکز» عددها را نشان می‌دهند، اما نمی‌گویند عددها چقدر از هم فاصله دارند. ساده‌ترین ابزار برای این، دامنه (Range) است: بزرگ‌ترین عدد منهای کوچک‌ترین عدد.

دو دارایی را در نظر بگیرید که هر دو در پنج روز میانگین قیمت ۱۲ دلار داشته‌اند:

• دارایی الف: ۱۱، ۱۲، ۱۲، ۱۲، ۱۳ → دامنه = ۱۳ − ۱۱ = ۲
• دارایی ب: ۶، ۹، ۱۲، ۱۵، ۱۸ → دامنه = ۱۸ − ۶ = ۱۲

جمع هر دو ۶۰ است و میانگین هر دو ۱۲، اما دارایی ب خیلی پرنوسان‌تر است. اگر فقط میانگین را نگاه می‌کردید، این تفاوت مهم را نمی‌دیدید. مفهوم دقیق‌تر پراکندگی، یعنی نوسان و انحراف معیار، در درس‌های مدیریت ریسک می‌آید؛ اینجا همین تصویر ساده کافی است.

یک هشدار: درصدها را ساده میانگین نگیرید

فرض کنید قیمتی یک روز ۵۰٪ بالا رفته و روز بعد ۵۰٪ پایین آمده. میانگین ساده‌ی این دو درصد صفر است، انگار هیچ اتفاقی نیفتاده. اما با عدد امتحان کنید: ۱۰۰ دلار با ۵۰٪ رشد ۱۵۰ می‌شود و با ۵۰٪ افت ۷۵. یعنی ۲۵٪ ضرر. پس میانگین ساده‌ی درصدهای پشت سر هم، نتیجه‌ی واقعی را نشان نمی‌دهد. دلیل این را در درس تغییرهای پی‌درپی کامل می‌بینیم.

جمع‌بندی

• میانگین = جمع ÷ تعداد؛ میانه = عدد وسطِ عددهای مرتب‌شده.
• داده‌ی پرت میانگین را جابه‌جا می‌کند اما میانه را تقریباً نه.
• دامنه نشان می‌دهد عددها چقدر پخش‌اند؛ دو دسته با میانگین برابر می‌توانند نوسان کاملاً متفاوت داشته باشند.
• درصدهای پشت سر هم را با میانگین ساده خلاصه نکنید.

در درس بعد سراغ میانگین وزنی می‌رویم و یاد می‌گیریم وقتی در چند نوبت و با قیمت‌های مختلف خرید کرده‌ایم، قیمت میانگین خریدمان چقدر است.